Das hängt stark von der genauen Formulierung der Nutzungsbedingungen ab.
Aus meiner Sicht erfolgt die Verarbeitung als beschränkt zugängliche Veröffentlichung auf der Grundlage der Nutzungsbedingungen, also eines Vertrags und nicht etwa auf Basis einer Einwilligung. Zweck ist die Veröffentlichung im betriebenen Forum.
Eine Verarbeitung erfolgt aber auch auf der Basis berechtigten Interesses des Forenbetreibers und der Teilnehmer, soweit die Veröffentlichung einem User zugeordnet werden, egal, ob das über ein Pseudonym oder einen Klarnamen geschieht. Zweck ist eine gute Strukturierung zur besseren Verständlichkeit von Beiträgen und Diskussionen.
Einen Löschanspruch aus Artikel 17 https://www.datenschutz-wiki.de/DSGVO:Art_17 für die Veröffentlichung selbst sehe ich nicht, dem steht eventuell der Vertrag entgegen. Das ergibt sich im Umkehrschluss aus Absatz 1 a), am Zweck hat sich nichts geändert. Ein Löschen würde bedeuten, dass ein Nutzungsrecht nur als jederzeit widerrufbar eingeräumt würde, aber das Gegenteil könnte vereinbart worden sein.
Anders sehe ich die Zuordnung von Beiträgen zu einem Nutzer. Der Forenbetreiber und die Foristen haben ein Interesse am Fortbestand der Strukturierung. Aber die pauschale Behauptung, dass ein Thread ansonsten nicht verständlich sei, genügt nicht und wird auch kaum objektiv zu begründen sein. Selbst wenn die Verständlichkeit leidet, verschwindet sie nicht völlig – und wenn sie so ausserordentlich wichtig ist, dann hätte man diesen Aspekt - soweit zulässig - in den Nutzungsbedingungen behandeln können.
Der Forderung eines Users wird durch Anonymisierung Genüge getan.
Der Einwand, der User sei eventuell dennoch zuordenbar und daher eine Anonymisierung nicht sinnvoll, trägt nicht: zum einen entbindet das den Forenbetreiber nicht von seiner Löschpflicht, zum anderen hat er aus der Nutzungsvereinbarung sogar das Recht, den Beitrag zu löschen. Es bleibt ihm unbenommen, auch andere Lösungen zu wählen.
Ein Anspruch aus Artikel 21 ist dennoch nicht ausgeschlossen, wäre aber besonders zu begründen.
Den Nachweis für den Vertrag würde ich x (zu klären) Jahre aufbewahren.
Hm. Es bleibt leider unklar, warum ein User die Löschung verlangt (nur ein Streit?). Und ich finde es - wie gesagt - schwierig in dem speziellen Kontext nur eine juristische Sicht einzunehmen.